対数の定義と性質
指数・対数(教科書範囲) ★★
対数の定義と基本的な性質を扱います．
対数の定義と性質
例えば，指数方程式
$2^{x}=8$
ならば $x=3$ であることは容易にわかります．しかし
$2^{x}=5$
となると $x$ の値はどうなるでしょうか．ここで以下の対数という概念を定義すると，$x=\log_{2}5$ と表現できます．
対数の定義
$a>0$，$a\neq1$ のとき
$a^{p}=M \ \Longleftrightarrow \ \boldsymbol{\color{red}{p=\log_{a}M}}$
と定義します．$a$ を底といい，$M$ を真数といいます．これらは以下の条件があります．
底条件：$a>0$，$a\neq1$
真数条件：$M>0$
これから，以下の値が確認できます．頻繁に使います．
対数の基本
$a>0$，$a\neq1$ のとき
① $\log_{a}a^p=p$
↓
② $\log_{a}a=1$ (①で $p=1$ )
③ $\log_{a}1=0$ (②で $p=0$ )
また，複雑な計算問題を解くときに，以下の性質を利用します．
対数の性質
Ⅰ $\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$
Ⅱ $\log_{a}\dfrac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$
Ⅲ $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$
$p=\log_{a}M$，$q=\log_{a}N$ とする．
Ⅰの証明
$\log_{a}MN$
$=\log_{a}a^{p}a^{q}$
$=\log_{a}a^{p+q}$
$=p+q$
$=\log_{a}M+\log_{a}N$
Ⅱの証明
$\log_{a}\dfrac{M}{N}$
$=\log_{a}\dfrac{a^{p}}{a^{q}}$
$=\log_{a}a^{p-q}$
$=p-q$
$=\log_{a}M-\log_{a}N$
Ⅲの証明
$\log_{a}M^{k}$
$=\log_{a}\{a^{p}\}^{k}$
$=\log_{a}a^{pk}$
$=kp$
$=k\log_{a}M$
例題と練習問題
例題
例題
次の式を簡単にせよ．
(1) $\log_{\sqrt{2}}8$
(2) $\log_{6}12+\log_{6}3$
(3) $6\log_{5}\sqrt{10}-3\log_{5}2$
(4) $4^{\log_{2}11}$
講義
(3)までは前章の内容を使って簡単にしていきます．(4)では $x=4^{\log_{2}11}$ 等と文字でおいて，両辺の対数をとります．
解答
(1)
$\log_{\sqrt{2}}8$
$=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^6$
$=\boldsymbol{6}$
(2)
$\log_{6}12+\log_{6}3$
$=\log_{6}12\cdot 3$
$=\log_{6}36$
$=\boldsymbol{2}$
(3)
$6\log_{5}\sqrt{10}-3\log_{5}2$
$=\log_{5}(\sqrt{10})^{6}-\log_{5}2^3$
$=\log_{5}1000-\log_{5}8$
$=\log_{5}\dfrac{1000}{8}$
$=\log_{5}125$
$=\boldsymbol{3}$
(4)
$x=4^{\log_{2}11}$ とおく．両辺 $2$ を底とする対数をとると
$\begin{align}\log_{2}x&=\log_{2}4^{\log_{2}11} \\ &=(\log_{2}11)(\log_{2}4) \\ &=2\log_{2}11 \\ &=\log_{2}11^{2} \\ &=\log_{2}121\end{align}$
$\therefore \ {x=4^{\log_{2}11}=\boldsymbol{121}}$
練習問題
練習
次の式を簡単にせよ．
(1) $\log_{2}\sqrt{\dfrac{7}{48}}+\log_{2}12-\dfrac{1}{2}\log_{2}21$
(2) $\log_{0.5}\dfrac{8}{13}-2\log_{0.5}\dfrac{2}{3}+\log_{0.5}\dfrac{26}{9}$
(3) $27^{\log_{3}5}$
練習の解答
(1)
$\log_{2}\sqrt{\dfrac{7}{48}}+\log_{2}12-\dfrac{1}{2}\log_{2}21$
$=\log_{2}\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{48}}+\log_{2}12-\log_{2}\sqrt{21}$
$=\log_{2}\dfrac{\sqrt{7}\cdot 12}{\sqrt{48}\sqrt{21}}$
$=\log_{2}1$
$=\boldsymbol{0}$
(2)
$\log_{0.5}\dfrac{8}{13}-2\log_{0.5}\dfrac{2}{3}+\log_{0.5}\dfrac{26}{9}$
$=\log_{0.5}\dfrac{8}{13}-\log_{0.5}\dfrac{4}{9}+\log_{0.5}\dfrac{26}{9}$
$=\log_{0.5}\dfrac{8}{13}\cdot\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{26}{9}$
$=\log_{0.5}4$
$=\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$
$=\boldsymbol{-2}$
(3)
$x=27^{\log_{3}5}$ とおく．両辺 $3$ を底とする対数をとると
$\begin{align}\log_{3}x&=\log_{3}27^{\log_{3}5} \\ &=(\log_{3}5)(\log_{3}27) \\ &=3\log_{3}5 \\ &=\log_{3}5^{3} \\ &=\log_{3}125\end{align}$
$\therefore \ {x=27^{\log_{3}5}=\boldsymbol{125}}$